Káoszelmélet

Mindennapi életünkben, közvetlen környezetünkben is számos dolog van, aminek nem ismerjük pontosan működési törvényszerűségeit. Vajon az időjárás, a felszálló füst és az örvénylő víz viselkedése meghatározható-e, kiszámítható-e viszonylag hosszabb távon?

Azt gondolnánk, (és sokáig a legtöbb tudós is így vélekedett,) bonyolultságuk ellenére kiszámíthatóak ezek a folyamatok, csak esetleg egy még nagyobb számítógépre és még pontosabb leírásra van szükségünk hozzá.

Például régebben azt gondolták az időjárásról, hogy több és pontosabb valós idejű mérési adattal, a törvényszerűségek pontosabb megértésével és nagyobb számítási teljesítménnyel az előrejelzés ideje vagy pontossága közel egyenes arányban növelhető.
Az igazság azonban az, hogy az egész Földet átfogó mérési-adatgyűjtő rendszerrel és óriási teljesítményű számítógépháttérrel sem tudunk három napnál hosszabb időre szóló, még elfogadható pontosságú előrejelzést produkálni. A káoszelméletből az következik, hogy ez az időtartam óriási erőfeszítések árán sem növelhető például a mezőgazdaság számára minimálisan kívánatos 2-3 hétre, vagy a nyaralásunk megtervezéséhez szükséges néhány hónapra.

Sok tudós és kutató vizsgálta már a látszólag szabálytalan viselkedést mutató jelenségeket, a különböző áramlásoktól kezdve a gazdasági és társadalmi folyamatokig bezárólag.
Néhányan különös hasonlóságokat és összefüggéseket fedeztek fel világunk egymástól igencsak távol eső részterületei között. Ennek eredményeképp egy új tudományág, egy új elmélet született.

Az 1970-es évek végére a Káoszelmélet elismert tudománnyá vált, és sok olyan kérdésre adott választ, melyek megfejtését más tudományoktól várták. A tudományterületek - szinte kivétel nélkül - új eszközt kaptak vizsgálódásaikhoz, amely minden területen új felfedezéseket tett és tesz lehetővé a jövőben. Sok folyamatról - melyeknek megfejtésén, pontos leírásán más elméletek követői még fáradoztak -, bebizonyította, hogy a klasszikus felfogás szerint leírhatatlanok (történéseik előre nem számíthatóak). Viszont megmutatott bizonyos szabályszerűségeket, amelyek az ilyen folyamatokra jellemzőek, így kínálva megoldásokat.

Íme két példa:

Pillangó-effektus (Érzékenység a kezdőfeltételekre)

Edward Lorenz, 1960-ban készített egy időjárás szimulációs programot. Sikerült kiválasztania és meghatároznia néhány szabályt, melyek követésével a számítógép-program élethűen szimulálta egy képzelt bolygó időjárását. A szabályok (egyenletek) a hőmérséklet és a nyomás, valamint a nyomás és a szélsebesség viszonyát írták le.
A számítógép egy kezdeti feltételből (egy számsorból) kiindulva rövid idő alatt végigkövette akár egy egész nap időjárását is, és a kért időpontnak megfelelő helyzetet papírra nyomtatta. Ez a program nagyon egyszerűsített formában utánozta az időjárást, de a kinyomtatott eredmény, a szelek és hőmérsékletek változása mégis a földi időjáráshoz volt hasonló a maga változékonyságával és megjósolhatatlanságával.
A számítógép program nagyon fontos tulajdonsága, hogy ugyanazokra a kezdeti feltételekre mindig ugyanazokat az eredményeket adja (hacsak nem alkalmazunk véletlen-szám generátort, de itt erről nem volt szó).

1961 telének egyik napján Lorenz egy régebbi programfutás utolsó időszakát szerette volna újra megvizsgálni. Megtehette volna, hogy a gondosan dokumentált kezdeti feltételekből megadja azt, amelyik végeredményére kíváncsi volt, de így végig kellett volna várnia a program teljes lefutásának hosszú idejét. Ezért inkább betáplált egy papíron meglévő részeredményt, amelyet a program az adott kezdeti feltétel futtatásának vége felé nyomtatott ki még az előző alkalommal.
(Mivel a számítógép minden további adatot az előzőből számol, így az adathalmaz egymásra épül. Tehát bármely pontban is indítjuk programunkat, (bármely már lejegyzett kezdőfeltétellel,) mindig ugyanazt az eredményt kell kapnunk.)
Lorenz a betáplált köztes eredményekkel elindította programját. A futás során azonban különös dolgot tapasztalt, a program eredményei egyre jobban eltértek az előző futás eredményeitől.
Hamar rájött, hogy a betáplált számokkal volt a baj, a számítógépe ugyanis hat tizedes jegyig számolt (0,134724), viszont helytakarékosság miatt csak három tizedes jegyig nyomtatták ki az eredményt (0,134). Így a visszatáplált számok valójában - még ha csak oly kis mértékben is, de - más kezdeti feltételt adtak meg.
Azt gondolhatnánk, hogy ez a kis eltérés nem okoz számottevő hibát, pedig itt az egy ezrelékes eltérés azt jelentette, hogy egy idő múlva már semmilyen hasonlóság sem volt a két futási eredmény között. (Gondoljunk bele, hogy mivel a hőmérséklet- és nyomásmérés hibája jóval nagyobb, mint egy ezrelék, ez önmagában lehetetlenné teszi a hosszútávú időjárás-előrejelzéseket.)
Lorenz ezek után nekilátott a probléma vizsgálatának ebből a szemszögből is. Rájött, hogy az időjárást és az ehhez hasonló viselkedésű folyamatokat olyan (nem lineáris) egyenletek írják le, amelyek nem oldhatók meg, legfeljebb közelítő módszerekkel a kívánt pontossággal számíthatók. Az ilyen rendszerekben bármilyen csekély bevitt hiba is teljes és átfogó hatással van a rendszerre. Tehát például az időjárási problémával folytatva: egy apró kis légáramlat, amelyet egy pillangó kelt a szárnyával, idővel óriási hatással van az időjárás egészére. Vajon földi létünk egyetlen másodperce alatt hány ilyen aprócska és nagyobbacska hatás éri légkörünket? Ha ezt figyelembe vesszük, bátran kijelenthetjük, hogy az időjárás egy "megjósolhatatlan" folyamat.

A fenti tulajdonság az ilyen (bizonytalan kimenetelű) rendszerek érzékenysége a kezdőfeltételre. Azóta szállóigévé vált a káoszelmélet eme híres példája: "ha egy pillangó szárnya rebbenésével megmozdítja a levegőt Pekingben, akkor abból esetleg egy hónap múlva New Yorkban hatalmas viharrendszer támadhat."
Régen vitatott kérdés, hogy egyes emberi tettek válhatnak-e meghatározóvá történelmi méretekben? Vagy az, hogy vajon a gazdasági és társadalmi folyamatok is az időjáráshoz hasonlóan viselkednek? A káoszelmélet szerint igen.
A káoszelmélettel bebizonyosodott, hogy egyszerű köznapi formulákkal lehetséges nagyon bonyolult viselkedésű folyamatok leírása. (Visszakanyarodtunk Occam-borotvájához)

A Jupiter vörös foltja

Az eddigi kutatások eredményei szerint a Jupiter nagy vörös foltja egy állandósult hatalmas hurrikán, amelyet egy légköri energiaforrás állandóan (már legalább 350 éve) üzemben tart.
A Jupiter külső gázrétege hasonló törvényszerűségeknek engedelmeskedik, mint Földünk légrétege. A földi időjárás kaotikus viselkedést mutat, állandó légköri képződményt nem találunk benne. Lehetséges-e tehát egy kaotikus rendszeren belül a Nagy Vörös Folthoz hasonló, állandó pont?
A káoszelmélet szerint a Jupiter Nagy Vörös Foltja nem mond ellen a kaotikus viselkedést jellemző rendezetlenségnek. A folt bizonyíték lehet a nagy bonyolultságú kaotikus rendszerek következő törvényszerűségére: minél nagyobb méretekben és minél hosszabb ideig volt már jelen egy állapot vagy egy bizonyos viselkedés, annál nehezebben szűnik meg, illetve valószínűleg annál hosszabb ideig fog tartani még a továbbiakban is.

Fraktálok
Milyen hosszú a tengerpart?

Az angol Lewis F. Richardson a XX. század első felében a földrajzi határvonalak és országhatárok hosszának illetve hosszmeghatározásának pontosságát vizsgálta. Észlelte ugyanis, hogy bizonyos országok közös határainak hossza egyes forrásokban nagy eltérésekkel szerepel. Átgondolva a dolgot, láthatjuk, hogy a partvonalak és országhatárok hosszának megállapítása többféleképpen történhet és eljárásonként más és más eredményeket kapunk.

Benoit Mandelbrot ötven évvel később felhasználta és újraértelmezte a fenti problémát. Gondolatban próbáljuk meghatározni egy partvonal tényleges hosszát úgy, hogy egyre kisebb mérési egységet alkalmazunk. Ha egyméteres egységet választunk, nem vesszük figyelembe az egy méteresnél kisebb görbületeket, amelyek pedig a partvonal teljes hosszán végigvonulnak, így annak hosszát növelik. Ha tíz centiméteres egységgel mérünk, kihagyjuk a centiméteres görbületeket, és így tovább...
A gyakorlatban a partvonal pontos hosszát csak egy atomi szintű mérési egységgel tudjuk megmérni, hiszen a fenti önhasonlóság (mai tudásunk szerint) az atomi szintig folytatódik.
Mandelbrot egy a partvonalakhoz hasonló geometriai alakzatot képzelt el, amelynél az önhasonlóság a végtelen kis mérettartományokig folytatódik. Ebből következik, hogy egy ilyen alakzat körvonalának hossza végtelen, hiszen minden szinten találhatunk még finomabb görbületeket, üregeket és hajlatokat.

Mandelbrot, kutatásai során számos természet alkotta szerveződésben fedezte fel az ehhez hasonló felépítést. Majd 1975-ben elnevezte a fentihez hasonló geometriai alakzatokat fraktáloknak. (A név az angol fracture szóból származik, melynek jelentése: törés.) Ez az elnevezés a Káosz-elmélet egyik alapszava lett, a fraktálgeometria pedig felsorakozott a geometria résztudományai közé.

Példák fraktálokra:

A Koch-féle hópehely egy véges területen elhelyezkedő végtelen hosszú görbét ír le. Így hosszúságban nem különbözik egy szintén végtelen (, az egész világegyetemet átszelő) eukledeszi egyenestől, viszont elfér akár az előttünk lévő monitor képernyőjén is. Sőt bármilyen kicsiny háromszögből is indulunk ki, minden esetben végtelen hosszúságú görbét kapunk eredményül. A Koch-féle hópehely az egyik legegyszerűbben leírható fraktál, amely minden szinten nagyszerűen mutatja az önhasonlóság tulajdonságát.

Sierpiński-szőnyeg és Menger-szivacs
A Sierpiński-szőnyeg előállításánál egy négyzetből indulunk ki, aminek eltávolítjuk a középső kilenced részét. Majd a maradék nyolc kilenced résznek is eltávolítjuk a közepét, és így tovább... a végtelenségig: a szőnyeg területe végül nullával lesz egyenlő, míg a kerülete végtelen.
A Sierpiński-szőnyeg háromdimenziós megfelelője a Menger-szivacs: a szivacs élhossza és felszíne végtelen, térfogata viszont nulla.

Tudomány és Technika honlap: www.t-es-t.hu/minden/kaosz.htm

Gleick, J.: Káosz - egy új tudomány születése. Göncöl. Bp. 1999.

Szépfalusy, P.: A káosz és rendezetlenség kutatása. Korszakváltás a tudományban. Magyar Tudomány 1993/4. tematikus különszám

Szépfalusy, P. - Tél T.: A káosz. Véletlenszerű jelenségek nemlineáris rendszerekben. Akadémiai. Bp. 1982.

Crutchfield, J.P. - Farmer, D. - Packard, N.H. - Shaw, R.S.: A káosz. Tudomány 1987/2. 13-25.

Fokasz, N.: Rend és káosz - Fraktálok és káoszelmélet a társadalomkutatásban. Replika Kör. Bp. 1997.

Tél, T.: Törtdimenziós rendszerek: a fraktálok. Természet világa. 1984/3. 106-109.